Apa itu
Matematika????
Semua orang tahu apa itu matematika, tetapi ketika
mendefinisikannya kita tampaknya gagal sama sekali. Sebuah arti
kamus matematika bisa menjadi ilmu yang berhubungan dengan studi jumlah dan
hubungan mereka dinyatakan dalam angka dan simbol-simbol khusus lainnya.
Beberapa orang menggambarkan matematika lebih dari bahasa di
mana setiap simbol dan setiap kombinasi memiliki arti yang tepat yang dapat
ditentukan oleh penerapan aturan logis. Bahasa ini
dapat digunakan untuk menggambarkan dan menganalisis setiap hal di alam
semesta. Klaim tinggi ini tentang matematika tidak akan muncul semua
yang terlalu jauh jika Anda mempertimbangkan bahwa semua hal indah yang
dilakukan oleh komputer saat ini dilakukan dengan menggunakan program komputer
yang pada akhirnya menggunakan dua simbol yang ti setara angka 1 dan 0
matematika.
Matematika adalah kelompok ilmu terkait, termasuk
aljabar, geometri, dan kalkulus, berkaitan dengan studi dari jumlah, kuantitas,
bentuk, dan ruang dan hubungan mereka dengan menggunakan notasi khusus. Matematika juga didefinisikan sebagai studi tentang angka,
pengukuran, hubungan, dan sifat dari jumlah dan set, menggunakan angka dan
simbol. Aritmatika, aljabar, geometri, dan kalkulus adalah cabang matematika.
Matematika
digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran, keuangan dan ilmu-ilmu sosial. Matematika
Terapan ialah cabang matematika yang bersangkutan
dengan penerapan pengetahuan matematika untuk bidang lain, menginspirasi dan
membuat penggunaan penemuan baru matematika, yang telah menyebabkan
pengembangan disiplin ilmu matematika yang sama sekali baru seperti statistik dan teori
permainan. Matematikawan juga terlibat dalam matematika murni, atau
matematika untuk kepentingan diri sendiri, tanpa memiliki aplikasi dalam
pikiran. Tidak ada garis yang jelas memisahkan murni dan terapan
matematika, dan aplikasi praktis untuk apa yang dimulai sebagai matematika
murni sering ditemukan.
Matematika yang
lebih kompleks tidak muncul sampai sekitar 3000 SM, ketika Babel dan Mesir mulai menggunakan aritmatika, aljabar dan geometri
untuk perpajakan dan perhitungan keuangan lainnya, untuk bangunan dan
konstruksi, dan untuk astronomi.
Di Babel matematika aritmatika dasar (Selain, pengurangan, perkalian, dan pembagian) pertama kali muncul dalam catatan arkeologi. Berhitung pra-tanggal penulisan dan sistem angka sudah banyak dan beragam, dengan pertama dikenal ditulis
angka yang dibuat oleh orang Mesir di Tengah Raya teks-teks seperti yang Matematika Rhind Papyrus.
Matematika
muncul dari berbagai macam masalah. Pada awalnya ini ditemukan di perdagangan, pengukuran tanah, arsitektur,
astronomi, dan masih banyak lagi. Hari ini, semua
ilmu menyarankan permasalahan yang diteliti oleh matematikawan, dan banyak
masalah timbul dalam matematika itu sendiri. Sebagai
contoh, fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan dari mekanika kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan
hari ini string theory, teori ilmiah yang masih berkembang yang mencoba untuk
menyatukan empat gaya dasar alam, terus
menginspirasi matematika baru.
Beberapa bidang
matematika terapan telah digabungkan dengan tradisi terkait di luar matematika
dan menjadi disiplin di kanan mereka sendiri, termasuk statistik, riset operasi, dan ilmu komputer.
Sebagai seorang matematikawan, kita harus mempelajari
sejarah dan filsafat dari matematika. Matematika dan filsafat
memiliki hubungan yang cukup erat, dibandingkan ilmu
lainnya. Alasannya,
filsafat merupakan pangkal untuk mempelajari ilmu dan
matematika adalah ibu dari segala ilmu, hubungan
lainnya dari matematika dan filsafat karena kedua
hal ini adalah apriori dan tidak eksperimentalis. Hasil dari keduanya tidak
memerlukan bukti secara fisik.
Matematika
dan
filsafat
mempunyai sejarah keterikatan satu dengan yang lain sejak jaman Yunani Kuno.
Matematika di samping merupakan sumber dan inspirasi bagi para filsuf, metodenya
juga banyak diadopsi untuk mendeskripsikan pemikiran filsafat. Kita bahkan
mengenal beberapa matematikawan yang sekaligus sebagai sorang filsuf, misalnya
Descartes, Leibniz, Bolzano, Dedekind, Frege, Brouwer, Hilbert, G¨odel,
and Weyl. Pada abad terakhir di mana logika yang merupakan kajian sekaligus
pondasi matematika menjadi bahan kajian penting baik oleh para matematikawan
maupun oleh para filsuf. Logika matematika mempunyai perananhingga sampai era
filsafat kontemporer di mana banyak para filsuf kemudian mempelajari
logika. Logika matematika telah memberi inspirasi kepada pemikiran filsuf,
kemudian para filsuf juga berusaha mengembangkan pemikiran logika misalnya
“logika modal”, yang kemudian dikembangkan lagi oleh para matematikawan
dan bermanfaat bagi pengembangan program komputer dan analisis bahasa.
Salah satu titik krusial yang menjadi masalah bersama oleh matematika maupun
filsafat misalnya persoalan pondasi matematika.
Filsafat matematika adalah segenap pemikiran reflektif terhadap persoalan-persoalan mengenai segala
hal yang menyangkut landasan matematika serta
hubungan matematika dengan segala segi dari kehidupan manusia. Landasan itu mencakup berbagai konsep pangkal, anggapan dasar, asa permulaan, struktur
teoritis, dan ukuran kebenaran. Sampai sekarang para filsuf dan ahli matematika masih mencoba merumuskan
apa sesungguhnya matematika itu. Banyak definisi
matematika telah dikemukakan,namun banyak pula sanggahannya.
Filsafat matematika adalah cabang dari filsafat yang mengkaji anggapan-anggapan filsafat, dasar-dasar, dan dampak-dampak matematika.
Tujuan dari filsafat matematika adalah untuk memberikan rekaman sifat dan metodologi matematika dan untuk memahami kedudukan matematika di dalam kehidupan manusia. Sifat logis
danterstruktur dari matematika itu sendiri membuat pengkajian ini meluas dan
unik di antara mitra-mitra bahasan filsafat
lainnya.
Sejarah matematika adalah
penyelidikan terhadap asal mula penemuan di dalam matematika dan sedikit
perluasannya, penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika di masa
silam. Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangunperadaban
manusia sepanjang masa.
Metode
yang
digunakan
adalah eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran deduktif. Penalaran
induktif adalah penarikan kesimpulan setelah melihat kasus-kasus yang khusus.
Kesimpulan penalaran induktif memiliki derajat kebenaran barangkalibenar atau
tidak perlu benar.
Sumbangan matematikawan Yunani memurnikan
metode-metode (khususnya melalui pengenalan penalaran
deduktif dan kekakuan matematikadi dalam pembuktian matematika) dan
perluasan pokok bahasan matematika. Kata"matematika" itu sendiri
diturunkan dari kata Yunani kuno, μάθημα (mathema), yang berarti
"mata pelajaran". Matematika Cina membuat
sumbangan dini, termasuk notasi posisional. Sistem
bilangan Hindu-Arab dan aturan penggunaan operasinya, digunakan
hingga kini, mungkin dikembangakan melalui kuliah
pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan
telah diteruskan ke Barat melalui matematika Islam. Matematika Islam, pada
gilirannya, mengembangkan dan memperluas pengetahuan matematika
ke peradaban ini. Banyak naskah berbahasa Yunani dan Arab tentang matematika
kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, yang mengarah pada pengembangan
matematika lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan Eropa.
Sejarah Matematika
A. Secara
Geografis
1. Mesopotamia
- Menentukan system bilangan pertama kali
- Menemukan system berat dan ukur
- Menentukan system bilangan pertama kali
- Menemukan system berat dan ukur
- Tahun 2500 SM system
desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi berbentukbaji
2. Babilonia
- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125
- Penemu kalkulator pertama kali
- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi
- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat
- Geometrinya bersifat aljabaris
- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang
- Sudah mengenal teorema Pythagoras
3. Mesir Kuno
- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi
- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM
- Mengenal tripel Pythagoras
- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika
- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10
4. Yunani Kuno
- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)
- Pencetus awal konsep[ nol adalah Al Khwarizmi
- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut
- Hipassus penemu bilangan irrasional
- Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinyamerupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah persamaan)
- Archimedes membuat geometri bidang datar
- Mengenal bilangan prima
5. India
- Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad
- Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran
- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal
- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif
- Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”
- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasidan segitiga pascal
6. China
- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM
- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner, aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus
- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitupersamaan kuadrat, kubikdan qualitik
- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
2. Babilonia
- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125
- Penemu kalkulator pertama kali
- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi
- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat
- Geometrinya bersifat aljabaris
- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang
- Sudah mengenal teorema Pythagoras
3. Mesir Kuno
- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi
- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM
- Mengenal tripel Pythagoras
- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika
- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10
4. Yunani Kuno
- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)
- Pencetus awal konsep[ nol adalah Al Khwarizmi
- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut
- Hipassus penemu bilangan irrasional
- Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinyamerupakan pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah persamaan)
- Archimedes membuat geometri bidang datar
- Mengenal bilangan prima
5. India
- Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad
- Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran
- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal
- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif
- Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”
- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasidan segitiga pascal
6. China
- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM
- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner, aljabar, geometri, trigonometri dan kalkulus
- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitupersamaan kuadrat, kubikdan qualitik
- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
B.
Berdasarkan Tokoh
1. Thales (624-550 SM)
Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh Thales sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.
2. Pythagoras (582-496 SM)
Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma, postulat-postulat yang perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras namundia berhasil membuat pembuktian matematis.
1. Thales (624-550 SM)
Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakan oleh Thales sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.
2. Pythagoras (582-496 SM)
Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma, postulat-postulat yang perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Pythagoras bukan orang yang menemukan suatu teorema Pythagoras namundia berhasil membuat pembuktian matematis.
3. Socrates (427-347 SM)
Seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta ajaran serba cita, karena itu filosofinya dinamakan idealisme.
4. Ecluides (325-265 SM)
Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan dan geometri. Subyek-subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen,geometri ruang, teori proporsi danlain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan jangka.
5. Archimedes (287-212 SM)
Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukanperhitungan π (pi) dalam menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno. Tiga karya Archimedes membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari parabola danspiral.
6. Appolonius (262-190 SM)
Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan bagiastronomi modern. Ia merupakan seorang matematikawan tang ahli dalam geometri. Teorema Appolonius menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.
7. Diophantus (250-200 SM)
Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsep aljabar Babilonia. Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria. Karya besar Diophantus berupa buku aritmatika, buku karangan pertama tentang system aljabar.
Periode Matematika
Ada
dua macam pembagian mengikuti waktu ataup eriode perkembangan. Yang
pertama, pembagian waktu ke dalam tiga periode, yaknI dahulu, pertengahan, dan sekarang. Pembagian ini berdasarkan pertumbuhan
matematika sendiri dan daya tahan hidup sesuai zamannya. Yang kedua,
pembagian menurut cara konvensional dalam tujuh skala waktu menurut penemuan
naskah yang dapat dihimpun, yakni (1) Babilonia dan Mesir Kuno, (2)Kejayaan
Yunani (600 SM – 300), (3) Masyarakat Timur dekat (sebagian sebelum dan
sebagian lagi sesudah (2)), (4) Eropa dan masa Renaissance, (5) Abad ke-17, (6)
Abad ke-18 dan 19, dan (7) Abad ke-20.
Pada
periode dahulu ciri khasnya
adalah empiris, mendasarkan pada pengalaman (indera) hidup manusia. Periode
pertengahan
mulai dengan analisis (Descartes, Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan padaperiode
sekarang ciri khasnya adalah metode
abstraksi dan generalisasi.
Paradoks
Matematika
Matematikawan
selalu menghadapi masalah karena mereka memperluas pengetahuan mereka tentang
bidang mereka. Sebagian besar masalah dapat diselesaikan. Namun, beberapa
tampaknya tidak ada solusi dan bahkan dapat menantang matematika, itulah
sebabnya mereka selalu menimbulkan masalah seperti matematika. Ini dikenal
sebagai paradoks, yang pernyataan yang tampaknya bertentangan sendiri atau
muncul tidak logis, tapi tetap bisa jadi benar. Contohnya adalah berkata,
"Aku selalu berbohong." Jika Anda berbohong, Anda mengatakan yang
sebenarnya, tetapi jika Anda mengatakan yang sebenarnya, Anda berbohong.
Paradoks Zeno dengan tak terhingga, dari Cantor dan Russell dengan teori
himpunan, dan paradoks kembar dalam fisika relativitas telah menciptakan
masalah dan argumen untuk matematikawan, serta memaksa mereka untuk berpikir
tentang subyek matematika dengan cara yang berbeda dari sebelumnya.
Zeno,
filsuf Yunani yang tinggal di abad kelima SM, menciptakan beberapa paradoks
untuk menunjukkan gagasan ruang dan waktu yang terpisah, dan bahwa dengan
membagi mereka satu datang ke banyak kontradiksi. Dua dari beberapa paradoks
yang disajikan contoh kontradiksi tersebut.
Yang
pertama menyatakan bahwa kura-kura dan pelari cepat Achilles yang akan ras, dan
bahwa kura-kura akan diberikan kepala mulai. Zeno mengatakan kepada Achilles
bahwa jika ingin mengalahkan kura-kura itu, ia pertama kali harus mengejar
ketinggalan dengan itu, tetapi untuk melakukan itu ia pertama kali harus
menutupi himpunanengah jarak antara mereka. Kemudian, Zeno mengatakan bahwa
himpunanelah Achilles tidak membuat himpunanengah dari jarak asli antara dia
dan kura-kura itu, kura-kura akan telah bergerak maju, menciptakan kesenjangan
baru antara keduanya. Kemudian Achilles harus menutup himpunanengah dari
kesenjangan ini baru sebelum penangkapan kura-kura. Namun, begitu ia menutup
himpunanengah dari kesenjangan ini baru, kura-kura akan pindah lagi dan menciptakan
kesenjangan baru lagi. Ini berarti bahwa Achilles terus akan menutupi
himpunanengah jarak celah, hanya untuk menemukan bahwa ia harus menutupi
himpunanengah jarak celah baru. Zeno menyimpulkan bahwa selama kura-kura
memiliki kepala mulai, Achilles tidak akan pernah bisa menangkapnya karena dia
akan selalu meliputi jarak terbatas dalam urutan interval waktu tak terbatas.
Paradoks
kedua mempelajari sebuah panah dalam penerbangan. Zeno mengatakan bahwa jika
Anda mulai untuk memecah waktu penerbangan ke dan kecil bertahap, maka Anda
dapat memeriksa panah pada suatu saat tertentu, dan pada saat itu panah akan
bergerak. Dia melanjutkan dengan mengatakan bahwa jika waktu adalah terdiri
dari instants, maka panah tidak pernah bergerak karena pada suatu instan
tertentu panah berada pada titik di ruang angkasa tapi tidak dalam gerak (Katz
57).
Paradoks
Zeno menciptakan masalah bagi matematikawan karena mereka meneliti gagasan tak
terhingga dan infinitesimals dalam ruang terbatas. Aristoteles adalah orang pertama
yang mencoba menyangkal pernyataan ini, mengklaim bahwa dalam contoh Achilles,
"sebuah objek terbatas tidak bisa datang dalam kontak dengan hal-hal yang
secara kuantitatif tak terbatas," yang berarti dibagi-tak terbatas waktu
tidak akan mempengaruhi runner. Dalam masalah panah Aristoteles mengatakan
waktu yang tidak terdiri dari instants terpisahkan, yang anggapan Zeno, dan
bahwa meskipun panah mungkin tidak bergerak pada suatu saat, gerak tidak
didefinisikan pada instants tapi selama jangka waktu tertentu (Katz 56 - 7).
Meskipun demikian, karena tak terhingga tidak memiliki nilai yang nyata dan
tidak nyata secara matematis, selalu ada banyak kontroversi di sekitarnya.
Paradoks
Zeno menyebabkan matematikawan berpikir hati-hati tentang konsep infinity dan
infinitesimals dan tidak membuat asumsi tentang mereka. Dalam sebuah kuliah
tentang Pythagoras dan ilmu Pythagoras dengan Dr Shirley kita belajar bahwa
infinitesimals menciptakan masalah bagi orang Yunani. Ilmu Pythagoras ditemui
krisis besar pertama dalam matematika ketika mereka menemukan akar kuadrat dari
2 ketika bekerja dengan segitiga. Mereka menganggap semua segitiga siku-siku
akan memiliki panjang terbatas, dan terkejut ketika mereka menemukan sebuah
segitiga 45-45-90, yang memiliki akar kuadrat dari 2 sebagai panjang sisi
miring.
Penelitian
infinite Zeno sangat penting untuk matematika karena membantu memimpin
perkembangan besar dalam kalkulus. Batas menemukan pendekatan fungsi sebagai
mendekati tak terbatas, dan dalam Shirley kuliah Dr pada kalkulus kita belajar
itu adalah batas yang diselesaikan krisis kedua dalam matematika tentang
bagaimana menafsirkan sebuah "ekstra" dx dalam masalah derivatif.
Selanjutnya, di tahun 1600-an Leibniz menjadi terganggu dengan menggunakan nya
infinitesimals dalam diferensiasi, dan memutuskan untuk membenarkan penggunaan
mereka. Walaupun untuk Leibniz itu tidak pernah benar-benar penting maupun
tidak infinitesimals ada, ia menemukan bahwa jika rasio tertentu adalah benar
ketika kuantitas terbatas, maka rasio yang sama akan berlaku ketika berhadapan
dengan batas-batas dan nilai-nilai yang tak terbatas. Teknik manipulasi menjadi
sangat berguna untuk Johann dan Jakob Bernoulli yang menerima infinitesimals
sebagai entitas matematika dan menggunakannya untuk membuat penemuan penting
dalam kalkulus dan aplikasi nya (Katz 530-1).
Paradoks
yang diciptakan oleh Cantor di paruh kedua abad ke 19 mencakup konsep
kardinalitas dan hubungannya dengan Teori himpunan (Katz 734). Kardinalitas
pada dasarnya menjelaskan berapa banyak nomor dalam satu himpunan, karena
himpunan terbatas itu adalah yang sederhana seperti menghitung, tetapi himpunan
yang tak terbatas tidak dapat memiliki kardinalitas yang dapat diwakili oleh
seluruh nomor. Ia menemukan bahwa jika anggota suatu himpunan tak terhingga
dapat dimasukkan ke dalam satu-ke-satu korespondensi dengan satu sama lain,
tanpa meninggalkan angka tambahan di himpunan baik, maka dua himpunan memiliki
kardinalitas yang sama. Satu-ke-satu korespondensi berarti bahwa untuk
himpunaniap anggota dalam satu himpunan, ada anggota yang sesuai pada himpunan
kedua. Sebagai contoh, dalam sebuah e-mail dengan profesor saya, Shirley Dr
mencatat bahwa himpunan bilangan bulat positif dan himpunan kuadrat sempurna
keduanya terbatas dan memiliki hubungan n ó n2 untuk setiap
anggota dari himpunan, yang berarti mereka memiliki satu-ke-satu korespondensi.
Cantor membuktikan bahwa himpunan bilangan real memiliki kardinalitas lebih
besar dari himpunan bilangan bulat, paradoks berarti bahwa himpunan tak
terhingga dari bilangan real adalah "lebih besar" dari himpunan tak
terhingga bilangan bulat. Secara umum, paradoks Cantor dimulai dengan
menyatakan bahwa himpunan semua himpunan (sebut saja himpunan B) adalah
kekuatannya sendiri himpunan, dimana himpunan daya adalah himpunan semua
subhimpunan dari sebuah himpunan A. Power himpunan selalu lebih besar daripada
himpunan yang terkait dengan mereka (Weisstein, "Power Himpunan" 1).
Paradoksnya menyimpulkan yang diberikan himpunan B, kardinalitas himpunan B
harus lebih besar dari dirinya sendiri. Untuk memahami paradoks, kita harus
mempertimbangkan Teorema Cantor, yang menyatakan bahwa kardinalitas himpunan
lebih rendah dari kardinalitas dari semua himpunan bagian perusahaan
(Weisstein, "Cantori Teorema 1). Paradoksnya adalah bahwa jika himpunan B
adalah himpunan semua himpunan, maka kardinalitas subhimpunan dari B akan lebih
besar dari B himpunan, namun kardinalitas himpunan B harus sama karena himpunan
B dan subhimpunan dari B yang sama (Weisstein, Paradoks 1 Cantor).
Paradoks
Russell, ditemukan pada awal abad ke-20, memberikan pandangan bahkan lebih umum
dari paradoks teori himpunan ditemukan oleh Cantor. Ini menyatakan bahwa R
adalah himpunan semua himpunan yang tidak menjadi anggota dari diri mereka
sendiri, yang berarti bahwa semua himpunan dalam R tidak mengandung diri mereka
sebagai elemen. Pertanyaannya kemudian menjadi, apakah R mengandung dirinya
sebagai elemen? Jika kita menganggap bahwa R tidak mengandung sendiri, kemudian
oleh R definisi tidak dapat berisi itu sendiri dan sebaliknya. Masalahnya
adalah yang paling sering diberikan sebagai paradoks tukang cukur. Misalkan di
kota kecil hanya ada satu tukang cukur yang didefinisikan sebagai orang yang
mencukur semua orang yang tidak bercukur sendiri. Lalu pertanyaannya adalah
"yang mencukur si tukang cukur?" Jika tukang cukur tidak mencukur
dirinya sendiri, maka ia tidak menurut definisi. Jika tukang cukur tidak
mencukur dirinya sendiri, maka dengan definisi yang dia lakukan (Russell
Paradox 3).
Paradoks
Cantor dan Russell sangat penting untuk bidang teori himpunan karena mereka
disebabkan matematikawan untuk memeriksa asumsi mereka buat sebelumnya.
Paradoks ini menunjukkan bahwa teori himpunan pada waktu itu (banyak yang
dirancang oleh Cantor) memiliki banyak inkonsistensi karena banyak dari itu
murni intuitif dan tidak didasarkan pada semua jenis aksioma atau bukti.
Matematikawan ini dipaksa untuk merumuskan sebuah cara untuk membuat teori
mengatur lebih konsisten dan untuk memberikan pembatasan yang jelas. Pada 1900-an
Ernst Zermelo menyusun tujuh aksioma yang memberikan aturan yang jelas untuk
teori himpunan (Katz 809-11). Salah satunya, aksioma pemisahan (atau
keteraturan) dihindari dan Russell paradoks Cantori dengan melarang diri
menelan himpunan ("Russell's Paradox" 1). Paradoks ini sangat penting
bagi perkembangan teori himpunan karena mereka menyatakan perlunya aturan,
seperti dalam aljabar atau geometri.
Meskipun
paradoks yang mengganggu dan membingungkan oleh alam, mereka tetap menjadi
penting untuk matematika di mengidentifikasi masalah dan inkonsistensi dalam
matematika sepanjang sejarah. Selain itu, dengan menantang pemikiran waktu,
paradoks dapat menyebabkan lebih banyak penemuan yang brilian bahkan dalam
matematika. Jelas, paradoks telah penting bagi matematika, dan disiplin mungkin
tidak berada di tempat seperti sekarang ini tanpa mereka.
Sejarah
Dan Penemu
Angka "Nol"
Al Khawarizmi Penemu Angka
Nol
Dunia Eropa / Barat dari
dulu sampai dengan sekarang sepertinya mengklaim bahwa Gudang Ilmu Pengetahuan berasal
dari kawasan Eropa / Barat tapi tahukah anda, sejatinya asal Gudang Ilmu
Pengetahuan berasal dari kawasan Timur Tengah yaitu Mesopotamia yang menjadi
peradaban tertua di dunia.
Masyarakat dunia sangat mengenal Leonardo Fibonacci sebagai ahli
matematika aljabar. Namun, dibalik kedigdayaan Leonardo Fibonacci sebagai ahli
matematika aljabar ternyata hasil pemikirannya sangat
dipengaruhi
oleh ilmuwan Muslim bernama Muhammad bin Musa Al Khawarizmi. Dia adalah seorang
tokoh yang dilahirkan di Khiva (Iraq) pada tahun 780. Selama ini banyak kaum
terpelajar lebih mengenal para ahli matematika Eropa / Barat padahal sejatinya
banyak ilmuwan Muslim yang menjadi rujukan para ahli matematika dari barat.
Selain ahli dalam matematika al-Khawarizmi, yang kemudian menetap
di Qutrubulli (sebalah barat Bagdad), juga seorang ahli geografi, sejarah dan
juga seniman. Karya-karyanya dalam bidang matematika dimaktub dalam Kitabul
Jama wat Tafriq dan Hisab al-Jabar wal Muqabla. Inilah yang menjadi rujukan
para ilmuwan Eropa termasuk Leonardo Fibonacce serta Jacob Florence.
Muhammad bin Musa Al Khawarizmi inilah yang menemukan angka 0
(nol) yang hingga kini dipergunakan. Apa jadinya coba jika angka 0 (nol) tidak
ditemukan coba? Selain itu, dia juga berjasa dalam ilmu ukur sudut melalui
fungsi sinus dan tanget, persamaan linear dan kuadrat serta kalkulasi integrasi
(kalkulus integral). Tabel ukur sudutnya (Tabel Sinus dan Tangent) adalah yang
menjadi rujukan tabel ukur sudut saat ini.
Al-Khawarizmi juga seorang ahli ilmu bumi. Karyanya Kitab Surat Al
Ard menggambarkan secara detail bagian-bagian bumi. CA Nallino, penterjemah
karya al-Khawarizmi ke dalam bahasa Latin, menegaskan bahwa tak ada seorang
Eropa pun yang dapat menghasilkan karya seperti al-Khawarizmi ini.
Sumber:
